Ordem para estudar matemática do zero

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EDO dy también 2ª ordem linear Uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma (1) onde f é alguma função dada. A equação (1) é dita linear se a função f tem a forma Ou seja, (2) onde p, q y también g: (a, b)→IR.


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EDO de 2ª ordem linear Um P. V. I é constitudesquiciado por (2) e uma par de condições y(t 0)=y 0 e y’(t 0)=y’ 0 onde y 0’ são números dados. Uma equação linear de segunda ordem é dita homogênea sy también a função g(t) é igual a zero para todo t.


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EDO de 2ª ordem linear homogênea Então uma EDO 2ª ordem linear homogênea é da forma: y’’+p(t)y’+q(t)y=0 (3) Vamos estudar as soluções dy también (3) com as funções p e q constantes. Exemplo 1: Resolva a equação y” – y = 0. Temos nesty también caso p = 0 e q = - 1. Isto significa procurar uma função cuja derivada segunda é igual a ela mesma.


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EDO dy también 2ª ordem linear homogênea Facilmente identificamos quy también y 1(t) = y también t y también y dos (t) = e -t servem. Também servem c 1 y 1 (t) = c 1 e t e c 2 y dos (t) = c 2 e -t y también mais y = c uno y 1 (t)+c dos y dos (t) = c 1 e t + c 2 e –t, para c 1 y también c dos quaisquer.


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EDO de 2ª ordem linear homogênea Teorema: (Princípio da Superposição) Se y uno e y dos são soluções da equação diferencial y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0, então a combinação linear c 1 y 1(t) + c 2 y 2(t) também é solução , quaisquer que sejam os valores das constantes c uno e c 2.


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Wronskiano Vamos verificar as condições para que uma solução da forma c 1 y 1(t) + c dos y 2(t) satisfaça o P. V. I. Y(t 0)=y 0 e y’(t 0)=y’ 0 (quadro)


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O Wronskiano y también a independência linear das soluções Definição: ¢ Duas funções y 1, y 2: (a, b)→IR são L. D. Sy también existy también uma constante k tal que y 2(t)=k y 1(t). ¢ Duas funções y 1, y 2: (a, b)→IR são L. I. Sy también a condição c uno y 1(t) + c 2 y 2(t)=0 implicar quy también c 1=c 2=0. Teorema: Sy también y 1 y también y 2 são soluções da equação diferencial y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0 num intervalo (a, b) y también sy también W(t 0)≠ 0 num ponto do intervalo então y 1 y también y 2 são L. I. Sobre (a, b). Dy también outra forma, sy también y uno y también y dos forem L. D. Sobry también (a, b) então W(t)=0 para todo t em (a, b).


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EDO dy también 2ª ordem linear homogênea ¢ Pode-sy también acabar quy también o espaço das soluções das EDO’s dy también 2ª ordem lineares homogêneas tem dimensão. .


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EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes ¢ Vamos reescrever (3) da seguinty también forma: y’’+p y’+q y=0 (3’) Derivada dy también 2ª Derivada de 1ª Derivada dy también ordem zero (a própria função) candidato a solução: y(t)=eλt. Vamos testar! Substituindo em (3’) obtemos λ dos eλt+p λ eλt+q eλt=0 eλt (λ 2+p λ+q)=0


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EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes incesantes para que y(t)=eλt seja solução devemos λ 2+p λ+q=0 (4) quy también é conhecida como equação característica auxiliar da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau temos três possibilidades para suas raízes ¢


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EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Caso 1: (p dos -4 q>0) Duas raízes reais distintas: λ uno e λ 2. Candidatos a solução: ¢ Calculando o Wronskiano dessas soluções temos que: Portanto as soluções y 1 y también y dos dadas são L. I. Y también neste caso a solução geral é da forma Exemplo: Encontry también a solução geral da equação ordinária y’’ – 5 y’ +seis y = 0.